無限の濃度／ヒルベルト

ええ・・・どうでもいいこと書きますよ・・・ブログだから

ぼーっと歩きながら「音楽ってなんでスピーカー１つで聞くことができるのか？」と悩んでいたわけです

たとえばコンサートではバイオリンとかビオラとか何十もの音源がなっているのに，オーディオではスピーカーひとつでこれらの音がなっているように聞こえるのが不思議

それは音は粗密波という波なので，複数の音があっても波形の足し算で１つの振動波形に収束できる・・・・といわれると，そりゃそうなんだけれど

じゃあ，sin波が２つ鳴っていて，合わさると2 sinのカーブになる訳で，これを聞くとsin波のボリュームが上がっただけで音源が2つあると認識はできないはずですよねぇ

実際には倍音成分が違う2つの音が重なれば，一瞬ボリュームが上がっただけに思えても，脳の中では2つの音源が鳴っていると分離してくれるんでしょうね

まあ，鼓膜も１枚の振動板なので，どんなに多様な音が鳴っていても，鼓膜のレベルでは１つの振動になっていることを考えると分からなくもないのだけれど

こういうように１つの振動を複数の音に分離認識する能力というのは，生まれながらにして人が持っている能力なのか，やはり，成長とともに獲得される能力なのか・・・だとするとこの脳の機能に障害が発生した人は，オーケストラを聴いても，１つの音源がそういう音色を奏でていると認識するケースもあるのだろうかなどと考えながら，またずんずん歩く・・・

仮に無限の音源が無限の音色を奏でると，現実の世界は無限×無限で無現二乗の音が存在し，これを耳にすると，１つの振動板の無限振動に変換され，脳の中でまた無限二乗の世界に変換されるというわけか・・・

と，ここまで考えたところで，直線上に存在する点の数は無限，直線×直線の平面に存在する点の数も無限・・・・しかし両者は完全に一対一対応することが可能で，点の濃度は等しいということを思い出してしまった

これはつまり簡単に書くと

1. 0～1までの直線区間の任意の点aは0.34798460・・・・のように表すことができる
2. 平面のある1点は座標 (x, y)で表すことができ，それぞれx, yを0から始まり0でない数字までを1ブロックとすると0.／001／02／03／4／007という表記にできるため，x, yはそれぞれ0.a1/a2/a3/a4・・・・0.b1/b2/b3/b4・・・・という分子で表記できる。
3. これを使って新しい数zをa1/b1/a2/b2/a3/b3・・・・と作ることができる
4. この新しい数zは1. で記した任意の点になり，平面上の任意の点はすべて直線上の任意の点に写像することができ，この写像は双射になるため完全な一対一対応を作ることができる

これは1878年にカントールによってなされた証明で，当時は驚愕の事実だった訳です

まあ，それはさておき，つまり無限の音源が奏でる無限の音が１枚の振動板の無限の振動に収束できるということは，この無限二乗が無限と対等であるということとどこか通じるような気もしてくるわけです

バスの中で目の前に座ったオバサンは私がうとうとしながらこんなことを考えていることはつゆ知らず・・・・フッフッフッ・・・・（何がだ・・・笑)

カントールといえば，ヒルベルト，ゲーデル・・・・そしてゲーデルの不完全性定理

そして大学の教養課程の講義「自然科学概論I」の試験問題がこれだったことを思い出す

配られたのはA3用紙１枚・・・・問題は１問だけ
「ゲーデルの不完全性定理を証明せよ」

もう必死で小さな文字でA3用紙表裏びっしり書きましたよ・・・・

ゲーデルの不完全性定理については割と最近のこちらでも読んで↓

数学ガール（ゲーデルの不完全性定理）